2013年7月27日土曜日

(5)複素数平面での円の極と極線



大学への数学(旧数B:複素数)の勉強 

【問1】
下図のように複素数平面に、原点を中心とする半径1の円がある。
複素数平面上の実数aであらわされる点aから、この円に接する接線を引いて、円と接する点をzとwとする。その接点zとwを結ぶ線(極aに対する極線と呼ぶ)がz=x+itであらわされるものとする。
(xは実数定数であり、tは実数の可変パラメータ)。
この場合に、極線が実軸と交わる点xの値を求めよ。


(解答)
原点を中心とする半径1の円の接点zとwはxを用いて以下の式であらわせる。

接点zにおいて接線AZと円の半径OZとが直交する条件は、実数のパラメータsを用いて以下の式(3)であらわせる。

1/z=wだから:
(6)に(2)を代入する。

(8)の実部と虚部それぞれが0になるので以下の式がなりたつ。


(9)を変形するとxを与える式が求まる。

(回答おわり)




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