2013年7月21日日曜日

(2b)複素数平面での正三角形の条件



大学への数学(旧数B:複素数)の勉強 

【公式】複素数平面上に書いた三角形が正三角形になる必要十分条件の公式

【考え方】
 複素数平面上の書いた2つのベクトルの間の角度とベクトルの長さの比をあらわす複素数wが以下の図のようにあらわせます。

ベクトルの始点が0で無い場合には、その複素数wは以下の図の式のようにあらわせます。
三角形の他の辺をあらわすベクトル間の角度と長さ比をあらわす複素数kは以下の図の式のようにあらわせます。

正三角では、三角形の辺をあらわすベクトル間の角度と長さ比をあらわす複素数wとkとが等しくなります。
そして、その逆に、複素数wとkが等しい場合には:


その三角形は3辺が等しくなるので、正三角形になります。
式w=kは、複素数平面上の点s,p,qを結ぶ三角形が正三角形になるための必要十分条件です。
その正三角形の条件式を変形して整理すると以下の式が得られます。


この式は、複素数平面上の点s,p,qを結ぶ三角形が正三角形になるための必要十分条件です。

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