2013年7月16日火曜日

3次方程式の一般解




佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

【問】

この3次方程式の一般解を解きたい。
(4)を(1)に代入して式を書き換える。
 この解は過去の数学者が大勢かかって何年も何年も解いてもわからなかった。
 この問題を解こうとする努力の中で、高次方程式の複素数解を求める方法の全ては知り尽くされた。
 そのため、以下の解説では、高校数学の、高次方程式の複素数解を求める全ての技術は当たり前の知識だとして、この問題の解き方を説明します。

この式を解くための天才的方法は:

として、未知数がy1つだったのを、sとtの2つの未知数に置き換えて、未知数を増す。
その未知数が増えた分、その2つの未知数を定めるために方程式が2つ必要になる。
その2つの方程式は、問題を解くために好きに定めて良い。ただし、式(5)の条件は満足しなければならないが。
 結局、解答に都合の良いように2つの式を自由に定めて良くなったので、解答の自由度が増した。
ただし、その2つの式が合わさって式(5)を満足させる条件は守る。
これから定める2つの式をうまく定めると、運が良ければ、その2つの式で、式(5)を満足させる全ての解が得られるが、そのような完全性にはあまりこだわらず、とにかく2つの式を定めて、1つでも良いから解を得てみるのが大事。

(6)を(5)に代入する。 

解答に都合の良いように、 (8)を満足させる以下の2つの式を定める。 
この2つの式が成り立つときは(8)及び(5)も成り立つ。
ただし、(8)が成り立つ全ての解が上の2つの式から導かれる保障は無い事には気を付けておく。
(この懸念があるが、計算をすすめて、結局3次方程式の3つの解が全て得られた。
そのため、その結果から、上の2つの式は(8)が成り立つ全ての解を導くことができることが分かる。)
以下で、この2つの式を解く。

(9’)と(10’)の表現をもっと単純な式に書き換える。

(11)(12b)から、sとtを解とするzの2次方程式を考える。

√の中が負の場合は、この答えは複素数。
ここで(12)を満足するように2つの解を整える。
(12)を満足する。
(6)に(13)(14)を代入することで第1の解を得る。
(第1の解)

この解は実数解である。

(第2の解を以下のように求める)


(第3の解を以下のように求める)


これで、この3次方程式の3つの解(15)(18)(21)が全て求められた。

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