2013年1月22日火曜日

三角形の辺と角の等式をベクトルで証明



「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題をベクトルを利用して解きます。
【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)-b・cos(A))=a2-b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題をベクトルを利用して証明します。
証明おわり。

 この問題はベクトルを利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
二重根号のはずし方
三角形の面積を求める種々の式
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・図形]一覧
リンク:高校数学の目次

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