2013年1月13日日曜日

第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

「ベクトルの内積の式の変形問題を解くのが気が重い」という人は、以下のベクトルの内積の公式をおぼえていないので、式の変形計算が不自由なところに原因があるように思います。

そのため以下の公式をおぼえましょう。

 ただし、以下の式は教科書では、特に公式として強調しては教えていないので、以下の式を使う場合は、その式を以下のように導き出して使うようにしてください。


(0)先ず、ピタゴラスの定理を拡張した公式です。以下の図のように、ベクトルaとbを、互いに直交する単位ベクトルxとyに平行な成分に分解した場合に、ベクトルの内積が以下の式の項に分解できます。
例えば、内積が以下の式の項に分解できます。

(1)次に、内積を数値の和に変える第1の公式は以下の公式です。
この公式は、この式だけで暗算で導き出せるようにおぼえて下さい。
この第1の公式は、上図の式1の公式です。これは、余弦定理(式2)をベクトルの内積の形であらわした公式です。
 余弦定理をまだ覚えていない人は、このベクトルの内積の公式をおぼえて、この公式を余弦定理の形に変換して使えるようになってください。
 また、余弦定理を使って証明する図形の問題は、ベクトルの内積を利用すれば簡単に証明できる場合が多いです。

(2)次に、内積を数値の和に変える第2の公式を以下のようにおぼえてください。


(3)次は、数値の和を内積に変える公式です。
この公式も、この式だけで暗算で導き出せるようにおぼえて下さい。



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