勉強しよう数学: ベクトルの内積の和と積の公式

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

「ベクトルの内積の式の変形問題を解くのが気が重い」という人は、以下のベクトルの内積の公式を導き出せないので、式の変形計算が不自由なところに原因があるように思います。

そのため以下の公式を導き出せるようにしましょう。
（公式を覚えるということは、その公式を導き出すための少しのヒントを覚えることと、その公式を導き出す手順を自分の手と目に覚えさせることです。）

　ただし、以下の式は教科書では、特に公式として強調しては教えていないので、以下の式を使う場合は、その式を以下のように導き出す手順も解答用紙に書いて使うようにしてください。

（０ａ）先ず、ピタゴラスの定理を拡張した公式です。以下の図のように、ベクトルａとｂを、互いに直交する単位ベクトルｘとｙに平行な成分に分解した場合に、ベクトルの内積が以下の式の項に分解できます。

（０ｂ）また、内積は、以下の項にも分解できます。

ベクトルの内積がこの形で計算できるという事を心の片すみに留めておいてください。

▽この内積の式から、「三角形の高さｈの公式」が導かれます。

【三角形の高さｈの公式】

この図の上記の公式が成り立つ。
この式は、以下の公式として覚える方が良いと思う。

（公式の位置付け）
　この公式は、ベクトルａとｂとｃが分かっている場合に外接円の半径が分からないでも、三角形の高さｈを求める公式として使える。
　そして、他の公式から、高さｈは、
２ｈＲ＝|c|・|b|
という事も分かるので、
両公式を使う事で外接円の半径Ｒも計算できる。
　ただし、外接円の長さＲを求めるだけならば、
外心の辺ＢＣ上の高さｍが分かった時点で、
辺ＢＣ／２の２乗とｍの２乗の和がＲの２乗になる事から求められるという他の計算の道もある。

　また、この公式で使う三角形の長さａの２乗について、以下の置き換えの公式が成り立つ。

【ベクトルの張る第１の三角形の余弦定理】
（１）次に、内積を数値の和に変える第１の公式は以下の公式です。

この公式は、左辺の式から右辺の式が条件反射で導き出せるように練習して下さい。
この第１の公式は、下図の式１の公式です。

式１は、余弦定理（式２）をベクトルの内積の形であらわした公式です。
　余弦定理をまだ覚えていない人は、このベクトルの内積の第１の公式を条件反射で導き出して、その公式を式２の余弦定理の形に変換して余弦定理を導き出して使えるようになってください。
　また、余弦定理を使って証明する図形の問題は、ベクトルの内積を利用すれば簡単に証明できる場合が多いです。

【ベクトルの張る第２の三角形の余弦定理】
（２）次に、内積を数値の和に変える第２の公式は以下の公式です。

この第２の公式もすぐに導き出せるように練習して下さい。
この第２の公式は、下図の式３の公式です。

式３は、余弦定理に類似した式４をベクトルの内積の形であらわした公式です。
この式４は、ベクトルの張る第２の三角形ＰＣＢの余弦定理です。

【ベクトルの内積とベクトルの２乗の差の変換公式】
（余弦定理に類似した中線の式）
（３）次に、ベクトルの内積を合成ベクトルの２乗の差に変える以下の第３の公式を以下のよう導き出す計算手順をおぼえてください。