2013年1月22日火曜日

三角形の辺と角の等式をベクトルで証明



「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の以下の問題をベクトルを利用して解きます。
【問32】上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos(B)-b・cos(A))=a2-b2

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos(B)-b・cos(A))-{a2-b2}=0

この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題をベクトルを利用して証明します。
証明おわり。

 この問題はベクトルを利用しないで解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
 ベクトルの内積を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク:
第3講「三角形の辺と角」(3)等式の証明
「三角形の辺と角」(2)余弦定理

「三角形の辺と角」(1)正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
二重根号のはずし方
三角形の面積を求める種々の式
(高校)三平方の定理
高校数学[三角比・図形]一覧
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2013年1月14日月曜日

第3講3節 ベクトルの内積



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

2つのベクトルがあるとき、
その各ベクトルの長さの2乗は、そのベクトルの成分によって以下のようにあらわせます。
ベクトルOWの2乗=W+W
ベクトルOSの2乗=S+S
この計算を2つのベクトルにまたがって計算する計算をベクトルの内積とします。


すなわち、
その2つのベクトルの内積が、そのベクトルの成分を用いて以下の式(1)で定義されます。

 =S+S   (式1)


上図のように、絶対値が1の2つの単位ベクトルがあるとき、
その2つの単位ベクトルの成す角度θの余弦cos(θ)は、この2つの単位ベクトルの内積と等しくなります。

=||・||cos(θ)=cos(θ)

以下で、その関係があることを示します。
単位ベクトルの偏角はαとし、単位ベクトルの偏角はβとする。


,W,S,Sとαとβとθの間には以下の関係があります。
θ=β-α
=cosα
=sinα
=cosβ
=sinβ

余弦定理により

∴ cos(θ)=S+S

なお、単位ベクトルの内積の式(式1)は、以下の式(三角関数のcosの加法定理)と同じ式です。
cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα  (式2)

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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習4解答



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習4】 

式1を代入
この式は練習1の方法で0にできる。


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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習3解答



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習3】 

式2を代入
式1を代入
 =-1+1
 =0




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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習2解答



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習2】 

式2を代入
式1を代入
この式は練習1の方法で0にできる。
すなわち

式1を代入
式2を代入




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第3講3節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習1解答



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習1】 

式1を代入する
式2を代入する



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