2011年11月23日水曜日

複素数平面(5)複素数平面での軌跡




佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

【問1】実数の媒介変数tを-∞から∞まで変化させたとき、
z=1+i・t (式1)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問2】実数の媒介変数tを-∞から∞まで変化させたとき、
z=1/(1+i・t) (式2)
であらわされる複素数zが複素数平面で描く軌跡を示せ。

(解答)

【問1の解】
式1の複素数zは、上図のように、z=1の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。

【問2の解】
式2の複素数zは、上図のように、z=0とz=1とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、z=0の点は通らない。

それを以下で証明する。
(証明開始)
zは、 zをあらわす複素数平面での点Cに関して、
|z|=線分OC=1/|(1+i・t)|=1/線分OA
であるから、
OC/OB=OB/OA
であり、
△BOCの2辺OCとOBの辺の長さが△AOBの2辺OBとOAから同じ比で縮小されている。
また、
arg(z)=-∠BOC=-arg(1+i・t)=-∠AOB
であるから、
△BOCの2辺OCとOBの間の角が、△AOBの2辺OBとOAの間の角と等しい。
∴ △BOC∽△AOB
そのため、
∠OCB=∠OBA=∠R=90度
∠OCBは常に90度なので、
C点は、OBを直径とする円周上にある。
ただし、式2のzは0では無いので、z=0の点は通らない。
(証明おわり)

(別解)
以下のようにして証明することもできる。
(注意)上のようにtの値にかかわらず|分子/分母|=1となる式、(1-i・t)/(1+i・t)を作ることがポイント。
よって、

よって、
|z-(1/2)|=1/2
よって、zは、値(1/2)を中心にする、半径(1/2)の円上にある。
ただし、zは0では無いので、値0にはならない。
(証明おわり)

【一番簡単な方法】
 ここをクリックした先に、(it)単体をzの式であらわして、そのzの式に(it)単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
 
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2011年11月20日日曜日

第6講:複素数平面(3)複素数の掛け算で三角関数の加法定理を導く




佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

s=w・z
というように、複素数wに複素数zを掛け算して複素数sを計算する場合を考えます。
上図で e はネイピア数です。
また、 e の虚数乗がcosとi・sinで表される公式はオイラーの公式と呼ばれている、とても便利な公式です。

(複素数の極形式のパラメータの定義)
複素数平面で複素数zが、0と1を結ぶ線分(実軸)から、0を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、
θ=arg(z)とあらわします(左回りを正の角度にします)。

また、複素数zの絶対値は|z|とあらわします。

先ず、各複素数の偏角を以下のように名づけておきます。
arg(s)≡α
arg(w)≡β
arg(z)≡θ
これらを使って各複素数が以下のようにあらわせます(複素数の極形式での表示)。
s=|s|cos(α)+|s|sin(α)・i
w=|w|cos(β)+|w|sin(β)・i
z=|z|cos(θ)+|z|sin(θ)・i

その複素数の掛け算s=w・zの場合には、以下の公式が成り立ちます。
arg(s)=arg(w)+arg(z)
|s|=|w|・|z|

上の2つの式を書きかえると以下の式になります。
α=β+θ   (式1)
|s|=|w|・|z|   (式2)

佐藤の数学教科書では、三角関数の加法定理を使って、(式1)が成り立つことを説明しています。
つまり、(式1)の公式は三角関数の加法定理と深い関係があります。
それで、上の(式1)を利用すると、三角関数の加法定理が以下のようにして簡単に導き出せるので三角関数の加法定理が覚えやすくなります。

以下で、複素数wとzの掛け算を計算して、その結果を複素数sと比較します。
ここで、加法定理との関係を分かり易くするため、複素数wとzの絶対値の
|w|=|z||s|=1
とする。
w・z=(cos(β)+sin(β)・i)・(cos(θ)+sin(θ)・i)
={cos(β)・cos(θ)-sin(β)・sin(θ)}
+{cos(β)・sin(θ)+sin(β)・cos(θ)}i
複素数w・zと、それに等しい複素数sとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす1つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす1つの式を導きます。それにより、以下の2つの関係式が導き出せます。
cos(α)=cos(β)・cos(θ)-sin(β)・sin(θ)
sin(α)=cos(β)・sin(θ)+sin(β)・cos(θ)
角αについて(式1)の関係があるので、それを代入して上の2つの式を書き直します。
cos(β+θ)=cos(β)・cos(θ)-sin(β)・sin(θ)
sin(β+θ)=cos(β)・sin(θ)+sin(β)・cos(θ)
上の2つの式が、それぞれ、cosの加法定理と、sinの加法定理と呼ばれています。

cosの加法定理とsinの加法定理を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。

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第5講:高次方程式(2)1のn乗根を複素数平面で求める




佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第5講 高次方程式

【問1】X=1の解を求めよ。
-1=0

この方程式の4つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、
=1,X=i,=-1,X=-iが、
-1=0
の4つの解です。
は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに90度(π/2ラジアン)回転した位置にあり、更に、順次に90度回転した位置が、この方程式の解です。

と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角90度を4倍すれば360度になり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角180度を4倍 すれば360度×2になり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角270度を4倍 すれば360度×3になり、実軸に戻ります。

複素数を4乗するということは同じ複素数を4回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を4乗すれば、その複素数の偏角が4回足し算されて4倍になりました。
すなわち、
=1の複素数の解は、1の偏角を360度、360度×2、360度×3と考えて、その偏角を4分の1の90度、180度、270度にし、その偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。

【問2】X=1の解を求めよ。
-1=0

この方程式の5つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、X-1=0
の5つの解です。
は、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに2π/5ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に2π/5rラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角2π/5ラジアンを5倍すれば2πになり、実軸に戻ります。
と0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角2π×(2/5)ラジアンを5倍すれば2π×2になり、実軸に戻ります。
以下、同様に、XとXは、2π×3、2π×4になり、実軸に戻ります。

結局、
=1の複素数の解は、2π/5ラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。

同様に考えることで、
=1の複素数の解は、2π/nラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがX=1の複素数の解になります。
すなわち、値1の点を頂点の1つにする正n角形の各頂点が、その方程式の解になります。 

【問2(b)】=1の解を、三角関数の値も計算して求めること。

この解の求め方を次のページで解説します。

 しかし、次のページを直ぐには見ないで、
しばらくここに留まって、この解を自力で求める努力をしてください。
 

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第5講:高次方程式(1)1の三乗根を複素数平面で求める




佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第5講 高次方程式

【問】次の式を因数分解してx=1の解を求めよ。
-1=0

この式は以下のように変形して解きます。
-1
=(x-1)(x+x+1)
=(x-1){(x+(1/2))-(1/2)+1}
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う。その準備》
よって、x=1の解は
上のようにして因数分解することで、x=1の複素数の解が得られました。この3つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、x=1,A,Bが、x=1の3つの解です。
Aは、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から0を中心にして左回りに120度(2π/3ラジアン)回転した直線上にあり、Bは右回りに120度(左回りに240度)回転した直線上にあります。

Aと0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角120度を3倍すれば360度になり、実軸に戻ります。Bと0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角の、右回りに120度(左回りに240度)を3倍すれば右回りに360度(左回りに720度)になり、実軸に戻ります。

複素数を3乗するということは同じ複素数を3回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算される(禁じられた複素数平面の教え)ので、複素数を3乗すれば、その複素数の偏角が3回足し算されて3倍になりました。
すなわち、禁じられた複素数平面の教えを使えば、
=1の複素数の解は、1の偏角を360度及び-360度と考えて、その偏角を3分の1の120度にし、その偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがx=1の複素数の解になります。

そうして求めた答えは、禁じられた複素数平面の教えを使って得たものですので、どうやってその答えを出したかを説明する場合は、最初に書いた、教わった範囲の解き方で解答するのが良いと思います。
おそらく、大学の入学試験では、「禁じられた複素数平面の教え」も禁じ手では無く、素直に複素数平面を使って解いたと解答に書いても合格点をもらえるかもしれません。
しかし、高校2年の試験で、そのような解答を書いたら、当然のことですが0点になりますので、くれぐれも、これを知っていることを隠して生活することが望ましいと考えます。
  なお、この教えは、2011年度からは禁止が解けました。
2011年度から、高校3年の数Ⅲで教えるようになりました。
そのため、高校3年からは、この教えを使って解いたと解答に書いても、合格点をもらえるようになりました。


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第6講:複素数平面(2)複素数を掛け算すると偏角が足し算される

https://schoolhmath.blogspot.jp/2011/11/blog-post_20.html
https://schoolhmath.blogspot.jp/2015/03/blog-post.html


佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

以下の内容は、むかしは、高校の検定教科書では教えないことになっていました。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられていたのかもしれません。
そのため、むかしは、以下の内容は、禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましかったと考えます。

また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。

s=w・z
というように、複素数wに複素数zを掛け算して複素数sを計算する場合、
複素数平面で複素数zが、0と1を結ぶ線分(実軸)から、0を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ=arg(z)とあらわします(左回りを正の角度にします)。
また、複素数zの絶対値を|z|とあらわします。

その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
arg(s)=arg(w)+arg(z)
|s|=|w|・|z|
以下で、これが、どうして成り立つかを説明します。
上図のように、
複素数 w=1+i
に、実数3/2を掛け算すると、
複素数wは、実軸と成す角度が同じまま、長さ(絶対値)が3/2倍になります。
上図のように、w=1に虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=iになり、
数W=1と原点0を結ぶ線が左回りに90度回転します。
上図のように、w=iに虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=-1になり、
数W=iと原点を結ぶ線が左回りに90度回転します。
ここでできた、0と(s=-1)と(i)を結んだ三角形が、
先の図で、0と(s=i)と(1)を結んだ直角二等辺三角形と相似(図では合同)になります。
上図のように、w=1+iに虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=-1+iになり、
数W=1+iと原点を結ぶ線が左回りに90度回転します。
ここでできた、0と(s=-1+i)と(1+i)を結んだ三角形が、
先の図で、0と(s=-1)と(i)を結んだ直角二等辺三角形と相似になります。
上図のように、w=(1/2)+(3/2)iに虚数z=iを掛け算すると、
掛け算の結果s=-(3/2)+(1/2)iになり、
数W=(1/2)+(3/2)iと原点を結ぶ線が左回りに90度回転します。
ここでできた、0と(s=-(3/2)+(1/2)i)と(w=(1/2)+(3/2)i)を結んだ三角形が、
先の図で、0とsとwを結んだ直角二等辺三角形と相似になります。

このように、どのような複素数wにz=iを掛け算しても、その答えsに関して、
0とsとwを結んだ三角形は必ず直角二等辺三角形になります。
このことの証明は、上図で、直角三角形0(wi)Bが、直角三角形0(w)Aに相似である(相似比が1)事を利用することで証明できます。
上図を用いて、どのような複素数wとzについても、
0と(s=wz)とwを結んだ三角形は必ず、0とzと1を結んだ三角形に相似な三角形になることが証明できます。

(証明開始)
上図で、線分OAの長さの実数に複素数zを掛け算して得た複素数の点をCとし、線分OBの長さの虚数に複素数zを掛け算して得た複素数の点をDとします。
複素数wは線分OAの長さの実数に線分OBの長さの虚数を足した値ですから、複素数wに複素数zを掛け算した値sは、C点の複素数にD点の複素数を足した値になり、上図の長方形ODsCの頂点sの位置に来ます。

三角形0CAと三角形ODBは、Oとzと1を結んだ三角形に相似な三角形です。辺OCの長さは、辺OAの長さの|z|倍で、辺ODの長さも辺OBの長さの|z|倍です。
そのため、長方形ODsCは、長方形OBwAの大きさの|z|倍で長方形OBwAに相似です。
また、長方形ODsCは、長方形OBwAをzの偏角θだけ回転した形をしています。
その長方形ODsCの一部である直角三角形OsCは、直角三角形OwAの各辺を|z|倍にした直角三角形です。
そのため、直角三角形OsCは直角三角形OwAに相似であり、また、直角三角形OsCは直角三角形OwAを左に角θ回転した形をしています。
そのため、三角形Oswは、辺0sが辺Owの|z|倍の長さを持ち、∠sOw=θになります。
この三角形Oswの、頂角∠sOw=θと、辺の長さ0sとOwの比とは、
0とzと1を結んだ三角形の、頂角θと、Ozの辺の長さのOから1までの辺の長さに対する比と同じです。
よって、三角形Oswは、0とzと1を結んだ三角形に相似になります。
(証明終わり)

このことを、数式を用いて表現すると、
arg(s)=arg(w)+arg(z)
|s|=|w|・|z|
と表現できます。
例えば、上図のように、zが(1/2)+(1/2)iの場合は、
0とzと(1)を結んだ三角形は、頂角が45度の二等辺三角形になります。
そして、上図のように、wにz=(1/2)+(1/2)iを掛け算した場合は、
0と(w・z)とwを結んだ三角形は、頂角が45度の二等辺三角形になります。
また、uにz=(1/2)+(1/2)iを掛け算した場合は、
0と(u・z)とuを結んだ三角形は、先の三角形に相似になり、
すなわち、頂角が45度の二等辺三角形になります。
このように、どのような複素数wにz=(1/2)+(1/2)iを掛け算しても、その答えsに関して、
0とsとwを結んだ三角形は必ず、0とzと1を結んだ三角形に相似な三角形(頂角が45度の二等辺三角形)になります。

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第6講:複素数平面(1)複素数平面



佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第6講 複素数平面

複素数平面は高校3年の範囲ですが、昔は高校2年で、虚数を教わると同時に、数直線が平面になって複素数があらわされると教わっていました。
 そのため、高校2年から、複素数平面を複素数を理解するための便利な道具として使う(例えば複素数の解を表す道具として使う)ようにしてください
(複素数平面に関して出題される複雑な問題は高校2年では解かずに、そういう問題は後で、高校3年になってから解くことにして良いです。)

複素数平面とは、
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面であり、その平面上の点で複素数をあらわす平面です。

上図のように、例えば、iや、(1+i)/√2などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”1”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と0をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数zを、|z|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |i|=1

この図には、虚数iの平方根である(1+i)/√2があらわされていますが、(1+i)/√2の絶対値は1であって、(1+i)/√2は、0を中心とする半径1の円上にあります。
しかも、(1+i)/√2の実軸と成す角度は45度で、0と1を結ぶ線(実軸)と、0とiを結ぶ線(虚軸)が成す角90度のちょうど半分です。

以下の話は後で説明しますが、
複素数zが、0と1を結ぶ線分から、0を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
u=w・z
というように、複素数zを他の複素数wに掛け算した答えの複素数uは、0と複素数wを結ぶ直線を、0を中心にして角度θ回転した直線上にあります。
0と複素数zを結ぶ線分が0と1を結ぶ線分と成す角度θをarg(z)とあらわします(左回りを正の角度にします)。
arg(u)=arg(w)+arg(z)
なお、複素数uの絶対値は複素数wの絶対値と複素数zの絶対値を掛け算した値になります。
|u|=|w|・|z|

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2011年11月17日木曜日

第6講:複素数平面(4)正5角形の問題を複素数平面を用いて解く




「式と証明・複素数」の勉強

複素数平面において半径1の円に内接する正5角形を考える。


-1=0
の5つの解をX=1と、X、X、X、Xとする。


【問1】以下を証明せよ
|(1-X)(1-X)(1-X)(1-X)|=5
すなわち、
abab=5
を証明する。

【問2】以下を証明せよ
|(1-X)|+|(1-X)|+|(1-X)|+|(1-X)|=10
すなわち、
+b+b+a=10
を証明する。

【問3】図の長さsを計算せよ


この問題も自力で解くよう、努めてください。

(解答はここをクリックした先にあります。)

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