2011年5月3日火曜日

第5講3節 和と積の公式 練習問題(7)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

(以下の問題は、「5講1節(2)覚えておく計算方法」の応用問題です。

【問1】sinA+sinB=2/3,cosAcosB=1/2のとき、
sinAsinBの値を求めよ。

【解答の心構え】
(1)先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
 今回は、求める式がsinAsinBという単純な式なので、求める式をこれ以上にはやさしくはできないと考える。

(2)次に考えることは、なるべく、加法定理関係の公式を使わないで、正弦定理や余弦定理や、「5講1節(2)覚えておく計算方法」を使った見通しが良い解答が無いかを考える。
 その結果、以下に説明するように、加法定理も、和と積の公式も使わないで答えが得られるが、それが正解です。

(解答の方針)
この問題は、「5講1節(2)覚えておく計算方法」を使うと式が単純になることを思い出して、sinAsinB=xとあらわして、xの方程式を書いて、xを解く。

 先ず、値がわかっているcosAcosB=1/2と、未知数sinAsinB=xとを、「5講1節(2)覚えておく計算方法」にあてはめて、以下の式を書く。
cosAcosB-sinAsin
=cosAcos
+(cosAsinB-cosAsinB)
-sinAsin
=cosA-sin
 次に、値がわかっているsinA+sinB=2/3を式の中に組み込めるように式を変形する。
=1-sinA-sin
=1-(sinA+sinB)+2sinAsinB

以上の計算で、以下の方程式が書けた。
cosAcosB-sinAsin
=1-(sinA+sinB)+2sinAsinB

この方程式の各項を、定数あるいは未知数xに置き換えてxの方程式を書く。
(1/2)-x=1-(2/3)+2x
+2x+1-(2/3)-(1/2)=0
+2x+(36-16-9)/36=0
+2x+11/36=0
(x+(11/6))(x+1/6)=0
x=-11/6, 不適(|x|=|sinAsinB|≦1であるため)
or x=-1/6
∴ sinAsinB=x=-1/6
(答おわり)

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2011年5月1日日曜日

第5講3節 和と積の公式 練習問題(6)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

(以下の問題は、「覚えておくべき三角形の公式」の応用問題です。
【問1】△ABCにおいて、次の等式がなりたつことを証明せよ。
【解答の心構え】
 先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。
(今回は図を省略するので、図は想像して描いてください)

(解答の方針)
この問題は、式1の右辺が3つの項の掛け算だから難しい。掛け算を解消するように問題を変換する。

式1の右辺をSとして、以下の式に変形する。
三角形の公式により式を変形する
これは、式1の左辺である。
(証明おわり)

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第5講3節 和と積の公式 覚えておくべき三角形の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

以下の、三角形の角度の公式を覚えておくと便利です。

【問1】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
sin((A+B-C)/2)=cosC
sin((B+C-A)/2)=cosA
sin((C+A-B)/2)=cosB

cos((A+B-C)/2)=sinC
cos((B+C-A)/2)=sinA
cos((C+A-B)/2)=sinB

(証明開始)
sin((A+B-C)/2)=sin((A+B+C-2C)/2)
=sin((π/2)-C)=cosC
(証明おわり)
 他の式の証明も同様である。

【問2】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
sin(A+B-C)=sin(2C)
sin(B+C-A)=sin(2A)
sin(C+A-B)=sin(2B)

(証明開始)
sin(A+B-C)=sin(A+B+C-2C)
=sin(π-2C)=sin(2C)
(証明おわり)
他の式の証明も同様である。

【問3】三角形ABCの角度の以下の公式を証明せよ
cos(A+B-C)=-cos(2C)
cos(B+C-A)=-cos(2A)
cos(C+A-B)=-cos(2B)

(証明開始)
cos(A+B-C)=cos(A+B+C-2C)
=cos(π-2C)=-cos(-2C)=-cos(2C)
(証明おわり)
他の式の証明も同様である。

上の公式を覚えておくと、三角形の三角関数の式の証明がやさしくなります。

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第5講3節 和と積の公式 練習問題(5)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて
2cosA+cosB+cosC=2 (式1)
が成り立っていれば、
2sinA=sinB+sinC (式2)
が成り立つことを証明せよ。
 
この問題は、「第4講2節 加法定理(等式の証明(1))」で解いた問題です。
 【重要な注意】
三角関数(特に三角形の角度の三角関数)の問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やxy座標の式に変えて計算する必要があります。

(問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
「第4講2節 加法定理(等式の証明(1))」のように解くのが近道ですが、
以下では、どうしても、三角関数の和と積の公式を使ってこの問題を解きたい人のために、和と積の公式を使って遠回りして問題を解きます。

(解答の方針)
証明すべき対象の
2sinA=sinB+sinC (式2)
を直接証明しようとする前に、この式を、できる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

式2は、3つの項の関係式であるから難しい式になっています。そのため、この式を2つの項だけであらわされる、もっと単純な式に変換しておいてから、問題を解く方針で問題を解きます。

また、式1についても、式2同様に3つの項からなるので難しい式です。この式1も、式2と同様に、2つの項だけであらわされる単純な式に変換して、その上で、その単純な式同士を比較して問題を解きます。

(解答開始)
式2を、以下のように変形して、もっと単純な式に変換します。
ここで、∠Aが180°では無いものとする。
すなわち、
であるものとする。
上に式をこの0で無い項で割り算すると以下の式が得られる。

こうして、式2は、式3のように、2つの項の関係であらわせました。
次に、式1を、変形して2つの項の関係式に変換します。

ここで、
が成り立っているものとする。すなわち、∠A=0となるつぶれた三角形が無いものとする。
その場合は、この0で無い項で上の式を割り算して以下の式が得られる。
式1は、式4のように、2つの項の関係であらわせました。
この式4は、式3と同じ式です。
よって、式1と式2は同じ式3(=式4)に帰着することがわかりました。
(証明おわり)

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