2011年4月30日土曜日

第5講3節 和と積の公式 練習問題(4)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】以下の式を簡単な式に変換せよ。
cosθ・cos(2θ)・cos(4θ)・cos(8θ)

【解答の心構え】この問題は、いきなり出されても解答を思いつく人はまれだと思う。
(そもそも、以下の答えが「単純」であるかどうかについての異論もあると思う。)
以下の解答を見て、解き方を覚えておくこと。

(解答のコツ)
三角関数を分数に変換する公式を使うことが解答のポイントです。
(解答おわり)

なお、sin(16θ)=sinθとなるような特別な角度の場合には、この答え=(1/16)になる。
例えば、θ=π/17の場合などに、そうなる。

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第5講3節 和と積の公式 練習問題(3)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
sinA=2cosBsinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。
 この問題は、上図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。

変数Aを消去することで問題をやさしくする。
 sin(C+B)=2sinCcosB (式1)

三角関数の式を、式の2項を積の式同士に整合する(項の式の形を合わせる)。
そのために、式1の左辺を積の式に変換して右辺の式の形に合わせる。

sinCcosB+sinBcosC=2sinCcosB
sinBcosC=sinCcosB
tanB=tanC
よって、△ABCは、∠B=∠Cの二等辺三角形である。

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2011年4月29日金曜日

第5講3節 和と積の公式 練習問題(2)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】頂角に以下の関係がある△ABCはどのような三角形か。
cosA-cosB=sinC

【解答の心構え】先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
図形の問題は図を書いて考えること。

この問題は、以下の図のように問題を変換すると問題がやさしくなる。
よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

この問題は、三角関数の和と積の公式の問題として出題されていました。その解き方の方は、遠回りになります。
しかし、どうしても解答方法を知りたい人のために、その遠回りな解き方を以下で説明します。

(解答)
 
よって、△ABCは∠B=90度の直角三角形である。

遠回りでしたが、かろうじて解答にたどりつけました。

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第5講3節 和と積の公式 練習問題(1)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)の応用問題です。

【問1】以下の三角関数の式を簡単にせよ。
f(θ)=cosθ+cos(2θ)+cos(3θ)+cos(4θ)+cos(5θ)

(解答)
三角関数を分数の和に変換する公式を使う。

分数式ですが項数が減ったので、式が簡単になった。
なお、ここで、sin(11θ/2)=0になるようなθの値であれば、この式は、定数(-1/2)になる。
例えば、θ=2π/11の場合などに、そうなる。


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2011年4月28日木曜日

第5講3節 和と積の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

三角関数の和と積の公式は、加法定理の一種です。
先ず、積を和に変える公式は以下の公式です。
 

次は、和を積に変える公式です。
cosの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際には、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

sinの和を積に変える公式は以下の公式です。

この公式を使う際にも、この証明の最初の1行目の式を書いてから、加法定理を暗算して積の式を導くと、簡単に使えるようになります。

教科書で教えている公式は以上ですが、
以下の公式も覚えておいた方が良いです。
三角関数を分数の和に変換する公式(積を和に変える公式の変形)です。
 
この公式は、角度B=Aの場合には、以下の式になる。

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第5講1節 2倍角と半角の公式 練習問題(2)覚えておく計算方法

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】以下の公式を証明せよ
cosαcosβ-sinαsinβ=cosα-sinβ

(証明開始)
cosαcosβ-sinαsinβ
=cosαcosβ
+(cosαsinβ
-cosαsinβ)
-sinαsinβ
=cosα(cosβ+sinβ)
-(cosα+sinα)sinβ
=cosα-sinβ

【問2】以下の公式を証明せよ
sinαcosβ-cosαsinβ=sinα-sinβ

(証明開始)
sinαcosβ-cosαsinβ
=sinαcosβ
+(sinαsinβ
-sinαsinβ)
-cosαsinβ
=sinα(cosβ+sinβ)
-(sinα+cosα)sinβ
=sinα-sinβ

式の変形の過程で以上の形の式が出てきたら、以上の計算方法を覚えておいて、すぐ、このように式を変形できるようになっていてください。

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2011年4月27日水曜日

第5講2節 a・sinθ+b・cosθの変形

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

の変形の公式は、加法定理の一種です。
とあらわせる。
そして、式1は以下の式に変形できる。
この式はsinの加法定理であるので、以下の式になる。
このように、a・sinθ+b・cosθは、1つのsinにまとめることができる。 

【問1】
xの関数f(x)の0≦x≦(2π)における最大値,最小値を求めよ。

【解答】
倍角の公式より
なお、
-π/4≦2x-(π/4)≦8π-(π/4)
-π/4≦2x-(π/4)≦7π+(3π/4)

この角度の範囲で、この三角関数が単位円を1回転以上回転できる。
∴ -2√2-1≦f(x)≦2√2-1

(解答おわり)

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2011年4月26日火曜日

第5講1節 2倍角と半角の公式 練習問題(1)

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【難問】三角形ABCにおいて、
cosAcosBcosC≦(1/8) (式1)
を証明せよ。そして、△ABCが正三角形のときのみに等号が成り立つことを示せ。
 
(予備知識)
加法定理(2倍角と半角の公式)を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。

そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の発案が解答のポイントの問題を解きます。

この問題は、一部に半角の定理を使いますが、それ以外の発案がポイントです。

(解答)
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

cosAcosBcosCの式は角度がAとBとCとの3つもあるから難しい。そのため、考えなければならない角度の数を減らした問題に、問題をかみくだいて考える。

角Aを固定して、角Bと角Cだけを考えて、式1が最大になる場合を考える。
その場合、角B=角C=(π-A)/2=αの場合に式1が最大になるだろうと予測できる。

角Bと角Cをαと補正角βとであらわす。
α=(π-A)/2 (式2)
B=α+β (式3)
C=α-β (式4)

式1の左辺をDとおく。
D=cosAcosBcosC
=cosAcos(α+β)cos(α-β)
=cosA{cosαcosβ-sinαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ},
=cosA{cosαcosβ-sinαsinβ
この式の{}内に、 0=(cosαsinβcosαsinβ)を加える。
=cosAcosαcosβ
+(cosαsinβcosαsinβ
-sinαsinβ},
=cosA{cosαcosβ+sinβ
-(cosα+sinαsinβ},
=cosA{cosαsinβ} (式5)

式5が最大になる場合は、β=0の場合である。その場合は、
D=cosAcosα
=cosAcos((π/2)-(A/2))
=cosAsin(A/2)
ここで、半角の公式を使う。
D=cosA(1-cosA)/2
=(1/2){-cosA+cosA}
=(1/2){-(cosA-(1/2))+(1/4)}
=(1/8)-(1/2)(cosA-(1/2)) (式6)

式6のDが最大になる場合は、β=0、かつ、cosA=(1/2)になる場合であって、そのDの最大値は(1/8)。
cosA=(1/2)の場合は∠A=π/3=60°

また、β=0の場合、
∠B=∠C=60°
すなわち、正三角形の場合にDは最大値になる。
正三角形以外の場合は、式6と式5から、D<(1/8)である。
(証明おわり)

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2011年4月25日月曜日

第5講1節 2倍角と半角の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

2倍角の公式は、加法定理の2つの角度が等しい場合の公式です。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α=βの場合は
sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
sin(2α)=2sinαcosα
これが、sinの2倍角の公式です。

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
α=βの場合は
cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα
cos(2α)=cosα-sinα
=cosα-sinα+cosα+sinα-1
=2cosα-1
=cosα-sinα-cosα-sinα+1
=1-2sinα
すなわち、
cos(2α)=cosα-sinα
=2cosα-1
=1-2sinα
これがcosの2倍角の公式です。

tan(2α)=2sinαcosα/(cosα-sinα)
分母と分子ともにcosαで割り算すると
tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
これがtanの2倍角の公式です。

半角の公式は、以下の公式です。
cos(2α)=2cosα-1
この式を変形する
2cosα=1+cos(2α)
cosα=(1+cos(2α))/2
cos(γ/2)=(1+cos(γ))/2
これがcosの半角の公式です。

cos(2α)=1-2sinα
この式を変形する
2sinα=1-cos(2α)
sinα=(1-cos(2α))/2
sin(γ/2)=(1-cosγ)/2
これがsinの半角の公式です。

tan(γ/2)=(1-cosγ)/(1+cosγ)
これがtanの半角の公式です。

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2011年4月24日日曜日

第4講2節 加法定理(等式の証明(4))正弦定理と余弦定理

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【蛇足問題】∠Aと∠Bと∠Cの間に、
∠A+∠B+∠C=π (式1)
の関係があり、
ある長さa,b,c,dとの間に、
sinA/a=sinB/b=sinC/c=1/d (式2)
の関係が成り立つ時、
+c-a=2bc・cosA (式3)
が成り立つことを証明せよ。ただし、余弦定理は証明に利用しないこと。

(注意1)数学の証明に「ある定理を使うな」というように、自由に思考させずに、思考過程に制限を加えるというのは、数学する心(自由に解く)に反する思想であるので、
こういう限定をして出題するというのは、問題がある。
そのため、この問題は、蛇足の問題です。

こういう問題が出題されたら、思考制限規定を無視して、解いても良いと思います。

(証明開始)
この問題の式2は三角形の正弦定理にあてはまります。そのような辺a,b,cと頂点の∠A,∠B,∠Cを持ち、直径dの円に内接する三角形が存在し、その三角形に対して式2の正弦定理が成り立ちます。
そして、その三角形については、式3の余弦定理が成り立ちます。よって、式3は成り立つ。
(証明おわり)
 と解答して良いと思います。

この問題は蛇足問題ではありますが、テストの出題というのでは無く、式の証明を研究するために、以下のように加法定理を利用して解いてみたいと思います。

(注意2)この問題は、たしかに解けますが、だからと言って、正弦定理と加法定理さえあれば余弦定理はいらないなどという誤解はしないで欲しい。
むしろ、その逆で、
加法定理を使って遠回りしてかろうじて問題を解く道があれば、必ず、「正弦定理と余弦定理を使って近道して問題を解く道がある」ということが示されていると解釈して欲しい。

それでは、遠回りした道を通る証明になりますが、
この問題を、出題の意図通りに、正弦定理と加法定理を使って、余弦定理を導く解答の道のりを以下で説明します。

(予備知識:問題をより易しい問題に変換してから解くこと)
証明すべき対象の
+c-a=2bc・cosA (式3)
を、式2を変換して式3を導出しようとはせずに、
先ずは、この式3を、わかる限り、問題をかみくだいてやさしい問題に変換します。

(解答開始)
式3の左辺を、式2を使って変換する。
式1を使って∠Aを消去する。
加法定理を使ってsin(B+C)を展開する。
(cosの加法定理を使って、sinBsinC-cosCcosB=-cos(B+C)にまとめる)
(式2を使って変換する)
=2bc{cos(A)}
∴ b+c-a=2bc・cosA
(証明おわり)

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第4講1節 加法定理の練習問題6

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のように、3つの平行線の上にそれぞれ点A,B,Cをとる正三角形△ABCがあり、点Bを置いた平行線と線分ACの交点をDとする。
図のように平行線の間の距離をそれぞれp,qとし、△ABCの一辺の長さをaとする。
∠ABD=αとし、∠CBD=βとするとき、sin(α)をp,qであらわせ。

【解答の方針】
α+β=π/3 (式1)
であることを利用して、角度α+βのsinかcosかを加法定理で展開する。
そして、
sinα=p/a (式2)
sinβ=q/a (式3)
から、角αとβのcosを計算して、展開式に代入して未知数を消す。
これにより、未知数aのみが式に残るので、先ずaが求められる。
あとは、そのaの値を式2に代入すれば、求めるsinαが得られる。

(解答開始)
式1を利用した以下の加法定理の式を考える。
cos(π/3)=1/2で値が簡単なので、cosの加法定理を使う。
cos(π/3)=cos(α+β)
=cosα・cosβ-sinα・sinβ,
1/2=cosα・cosβ-sinα・sinβ (式4)

(cosαを式2から求める)
(cosβを式3から求める)
式2、3、5、6を式4に代入する。
両辺を二乗する。
両辺の平方根を計算する。

式7を式2に代入する。
(解答おわり)

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2011年4月23日土曜日

第4講1節 加法定理の練習問題5

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】下図のような図形ABCDにおいて、∠B=90°、AB=3、BC=4、CD=6、DA=7とする。
ABの延長線とDCの延長線の交点をPとするとき、線分PCの長さを求めよ。

【解答の方針】
下図のように考える。

①線分ACの長さをbとして図に書きこむ。
角度αとβとγを図に書きこむ。
②角度γについては、余弦定理から求められる。
③長さxについては、αがわかれば、4/x=cosαを利用して計算できる。
この順に計算を進める、解答の方針を立てる。

(解答開始)
図から、
sinβ=3/5
cosβ=4/5
式2から、
これらと式2を式4に代入する。
(解答おわり)

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第4講1節 加法定理の練習問題4

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCの面積をS、辺BCの長さをaとするとき、
であるという。このとき△ABCはどんな三角形か。
ただし、∠Bは0度では無くaも0では無いものとする。

【解答の方針】
 三角形の問題は、先ず三角形を描いて、それから考えます。
 この問題は、何をして欲しいのか何も指定されていない問題です。解答がわからないので、問題の解き方の方向性がわからない問題です。

そのため、自分で、何を答えとするか、ばくぜんと見当をつけておいて、その答えが得られるかどうかを調べます。

特徴的な三角形といえば、直角三角形や二等辺三角形があります。
 三角形を特徴付ける角度と辺の関係を、簡単な式であらわせば、三角形の何らかの特徴があらわれてくるだろうと考えます。
そのため、先ずは、簡単な計算で、式1を簡単な式に変形してみる、方針で計算します。

(解答開始)
この三角形の面積Sは、以下の式でもあらわせます。
式1と式2を面積Sで結ぶ式を求め、式を簡単にしていく。
ここで、a ≠0,sinB≠0であるので、
a ,sinBで式を割り算しても、(a =0,sinB=0という)解の一部が失われることが無い。
そのため、a ,sinB式を割り算して式の計算を進める。
これだけ単純な式が求められた。この式が、どのような三角形をあらわしているかを、図を書いて考える。
上図の様に、式3は∠Aが直角の直角三角形をあらわしていることがわかる。
(解答おわり)

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2011年4月21日木曜日

第4講2節 加法定理(等式の証明(3))

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】定数A,B,Cと変数θであらわされる等式
Asinθ+Bcosθ+C=0 (式1)
がすべてのθに対して成り立つための条件は、
A=B=C=0 (式2)
であることを示せ。

【注意】
この問題は、A,B,Cが定数であって、変数θといっしょには変化しないことが問題のポイントです。
もし、A,B,Cがθともに変化する変数でも良いなら、
例えば、A=cosθ, B=-sinθ, C=0でも、式1が成り立つ。
A,B,Cがθとともに変わらない定数という条件が付いているからこそ、式1が成り立つようなAとBとCは、式2のように、すべて0にならなければならないのです。

定数A,B,Cについて変数θの全ての値で式1が成り立つということは、式1が、x=xや1+x=x+1という式と同じような恒等式であるということを意味します。
式1のcosθを何倍しても、どんな定数Cを加えても、sinθになることは無いので、これが恒等的に成り立つには0=0という式、すなわち、A=B=C=0しか無いということがわかります。

一度、これを学んだ人は、次回からは、こういう答えでも良いと思います。
(入学試験では、こういう答えで良いだろうと考えます。)
高校生は、最初は、この基礎知識を自分で確認して学ぶために、1回は、これを証明してみせなければなりません。
Ax+Bx+C=0が全てのxに対して成り立つ条件も、
A=B=C=0です。
これも、最初に学んだときに、自分で証明してみたのではないかと思います。

(証明開始)
式1に、θ=0を代入する。
0+B+C=0 (式3)
式1に、θ=π/2を代入する。
A+0+C=0 (式4)
式1に、θ=πを代入する。
0-B+C=0 (式5)
式3+式4を計算する。
2C=0
C=0 (式6)
式6を式3に代入する。
B=0
式6を式4に代入する。
A=0
∴ A=B=C=0
(証明おわり)

【問2】定数A,B,Cと変数θであらわされる等式
Asinθ+Bsin(θ+2π/3)+Csin(θ+4π/3)=0 (式7)
がすべてのθに対して成り立つための条件を求めよ。

0=Asinθ+Bsin(θ+2π/3)+Csin(θ+4π/3)
0=Asinθ
+B{sinθcos(2π/3)+cosθsin(2π/3)}
+C{sinθcos(4π/3)+cosθsin(4π/3)}
0=Asinθ+B{sinθ(-1/2)+cosθ(√3/2)}
+C{sinθ(-1/2)+cosθ(-√3/2)}
0={A-(B/2)-(C/2)}sinθ
+{(√3B/2)-(√3C/2)}cosθ (式8)

式8に、θ=0を代入する。
0+{(√3B/2)-(√3C/2)}=0
B-C=0
B=C (式9)
式8に、θ=π/2を代入する。
A-(B/2)-(C/2)=0
A-(1/2)(B+C)=0 (式10)
式10に式9を代入する。
A-C=0
A=C
∴ A=B=C (式11)
(検算)
式11を式8に代入すると、
0=0
たしかに、式11が求める条件である。

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2011年4月17日日曜日

2011年4月16日土曜日

第4講1節 加法定理の練習問題3

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問1】三角形ABCにおいて、頂点A、Bに対する辺の長さをそれぞれa,bとする。
b=2a (式1)
∠B=∠A+60° (式2)
なるとき、角A,B,Cの大きさを求めよ。

(予備知識)
加法定理を学んだ後の問題解答のポイントは、加法定理そのものではありません。加法定理は、いわば空気のような定理であって、無くてはならない当たり前の定理として使ってください。
そして、その当たり前の定理を使って、それ以外の定理(例えば正弦定理)が解答のポイントの問題を解きます。

(解答)
(求める答えを、より易しい答えにできないかを考える)
問題を解くときには、いつも、この発想から始めること。
この段階では、どう解答するかの見通しを立てます。

「角A,B,Cの大きさを求めよ」という問題で、三角形の長さも与えられているので、長さと角度の関係を与える方程式が先ず必要と考える。先ずは、正弦定理を直ぐに思いだすことが必要。

正弦定理を使って角度と長さを結びつけた方程式を書けば、角度が長さであらわせ、そうすれば全ての角度が与えられるという、解答の見通しを立てます。

(方程式を書く)
(正弦定理)
式3に式1と式2を代入する。60°=π/3ラジアンと書き直す。
∠A=π/6 または 7π/6
式2に代入して、
∠B=3π/6=π/2 または 9π/6=3π/2
3π/2はπより大きい角度なので不適。
よって、
∠A=π/6
∠B=π/2
∠C=π-∠A-∠B=π-(4π/6)=2π/6=π/3
(解答おわり)

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