2018年1月20日土曜日

線分の長さが一定の証明

【問1】(難問)
円Oと、円Oの2つの直径ABとCDが与えられている。
円O上の任意の点PからAB,CDに下ろした垂線の足をそれぞれQ,Rとする。
線分QRの長さが一定になることを証明しなさい。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2018年1月14日日曜日

拡張三平方の定理

 【三平方の定理】
上図の直角三角形で、式0であらわされた三平方の定理が成り立ちます。

【拡張三平方の定理】
上図の三角形で、式1であらわされた拡張三平方の定理が成り立ちます。
が小さくなって0になれば、この式1は式0に一致します。


(重要な注意)
 以下、このページでこの拡張三平方の定理を証明します。この証明を自力で行なって知能ホルモンを分泌させたい方は、以下を読まないで、この拡張三平方の定理を証明してください。

 それ以外の方には、以下で、この拡張三平方の定理の証明を解説しますので、見てください。

【拡張三平方の定理の証明】
三角形ABCに関して、以下の式が成り立ちます。
(証明おわり)

(補足)
 式の対称性から、以下の式2も成り立ちます。

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2018年1月11日木曜日

三角形の底辺を頂点の足で分割する問題

【問1】
上の図のような、三角形ABCの底辺BCを頂点Aの足Dで分割した線分BDの長さと線分CDの長さの比が式1であらわされることを証明しなさい。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2018年1月6日土曜日

二等辺三角形と直角三角形の辺の長さの関係

【問1】
上の図のような、AB=AC=1の二等辺三角形ABCと、その頂角Aと斜辺ABを共有し∠Dが90°の直角三角形ABDがある。
BC=x
AD=y
とするとき、
(1)xの値が分かっているときyをxであらわしなさい。
(2)yの値が分かっているときxをyであらわしなさい。

《解答手順》
 図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年12月31日日曜日

頂角36°の直角三角形の辺の長さ

【問1】(難問)
上の図のような、角Cが直角で頂角Aが36°の直角三角形ABCの斜辺ABの長さが1の場合に、辺ACの長さを求めなさい。

《解答手順》
 図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年12月24日日曜日

図形を完成させる手順の例

 【問題1】(難問)
 上図のように, 1辺の長さが18の正方形ABCDと,角BEFが90°の直角二等辺三角形EFBがあります。
線分ADと線分BFの交点をGとし、AG=6のとき,長さCEを求めなさい。 

《解答手順》
 図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

(重要な注意)
 以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くための、先ず図形を完成させるコツを教えたいためです。
 この問題を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解いてから、以下の解説を読んでください。

 それ以外の方には、この問題を例にした、問題を解く方針を考えるより先に図形を完成させておくコツを以下で説明するので、その方法を学んでください。

【解答はじめ】
 以下の図のように、最初の図から直ぐにわかる関係を図に書きます。
次に、この図の直角三角形ABGの辺の長さの関係がわかるので、その関係を簡単化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係が分かったこの直角三角形(に相似な直角三角形)をどこかに書き加えることを考えます。
新たに加える直角三角形を、上図のように、直角の頂点Gを有する直角二等辺三角形が作られるようにして加えます。

新たに加えた三角形の長さがわかったので、
それからわかる他の長さも書きます。
ここで、新たに辺の関係がわかった直角三角形の辺の関係を単純化して明示する相似な直角三角形の長さを書きます。
辺の関係がわかったこの直角三角形に相似な直角三角形の辺の長さを書きます。
以上のように、わかっていることからすぐ分かることを書いていくと、求めたい長さも含めた多くの不明な長さが網羅的に明確になります。
こうして、求めたい長さ
CE=9
が得られました。
(解答おわり)

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2017年12月23日土曜日

図形を先ずなるべく対称な形に完成させる

【問1】(難問)
上の図のような、円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=BC=3、
CD=5、
DA=8
のとき,∠ A の大きさを求めなさい。


《解答手順》
 図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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