2017年9月23日土曜日

ベクトルの難問を複素数平面で解く問題1

【問1】 
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つP点の位置座標を求めよ。

(解答方針)
この問題を複素数平面を利用して解いてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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2017年9月20日水曜日

外接する平行四辺形の面積の公式

ベクトルA(a,a)とB(b,b)の張る平行四辺形の面積Sの公式は、
S=a-a
で計算する公式が知られています。
 この平行四辺形に外接する図のような平行四辺形CDEFの面積は、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積の2倍です。
(外接する平行四辺形の面積の公式)

この公式は上図から明らかですが、
以下で、この公式を、ベクトルの計算からも導き出してみます。

(外接する平行四辺形の面積の公式の導出)
先ず、ベクトルA,Bを反時計回りに90度回転したベクトルA,Bを考えます。
そして、ベクトルAとBの張る平行四辺形の面積SをベクトルAとBの外積であらわして、それをこれらのベクトルを使って内積であらわします。
ベクトルCDとCFとそれらのベクトルを反時計回りに90度回転させたベクトルを以下の式であらわします。
次に、ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積を以下の式で計算します。
ベクトルCDとCFが張る平行四辺形の面積が、ベクトルAとBが張る平行四辺形の面積の2倍である、以下の公式が得られました。 
(公式の導出おわり)

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2017年9月19日火曜日

ベクトルの切替の公式

以下の式のように大きさが等しいベクトルAとBがある場合:
以下の式のように、ベクトルの内積を切り替える「ベクトルの切替の公式」が成り立ちます。
 (公式おわり)

このベクトルの切替の公式を適用する例を以下に示す。
【問1】 
上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
 先ず、ベクトルbとcを、外心から引いたベクトルAとBとCであらわす。
この式を、大きさRが等しいベクトルAとBとCの内積であらわし、式を変換する。
ここでベクトル(B+C)は、以下の図の様に辺BCに垂直であり、長さが2mである。
(証明おわり)

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2017年9月18日月曜日

外接円の中心の高さmを三角形の2辺と高さから求める

【問1】 
三角形の外接円の半径Rに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
【解答】
上の式のように正弦定理を使ってhを計算した。
(証明おわり)

円周角の定理のみでの証明は、ここをクリックした先にある。

また、この関係から、三角形の高さhが分かっている場合に、外接円の中心の高さmが以下の式で計算できる。

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2017年9月17日日曜日

ベクトルの合成の公式

【ベクトルの合成の公式】
以下のベクトルの合成の公式が成り立ちます。
直交する単位ベクトルsとtによって左辺の式で表されたベクトルは、左辺の内積に組み込まれているベクトルzに等しい。

【課題】
ベクトルzと、単位ベクトルaとbと、それらを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを考える。
ベクトルzは、以下の、ベクトルの分解の公式によって、単位ベクトルaとbであらわせる。
このベクトルの分解の公式を導き出すことを課題として、その解の中で、ベクトルの合成の公式を使う。
 
(解答1)
 ここで、ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
以下の式でベクトルaとbであらわされる単位ベクトルsと、それに垂直な単位ベクトルtを考える。 
 この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
ここで、単位ベクトルsとtの各要素は以下の式で与えられる。
式4の中のベクトルの要素をこの式5から8で置き換える。
この式にベクトルの合成の公式を適用する。
こうして得られた式は、当初の公式とはちがうが、この式のベクトルaとbをベクトルaとbに互いに入れ替えた式も成り立つ。
 よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答1おわり)

(補足)
 ここで、直交するベクトルsとtを単位ベクトルaと単位ベクトルbであらわし、それらのベクトルでベクトルzを分解して計算すれば、最初に記載したベクトルの分解の公式が直接に求められる。

(1)ベクトルaとbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとベクトルbであらわしたベクトルの分解の公式になり、
(2)ベクトルaとベクトルbであらわした単位ベクトルsとtで分解した式から求められる式が、
ベクトルzとベクトルaの積の項とベクトルzとベクトルbの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルsとベクトルtの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルaとbであらわしたベクトルの分解の公式になった。

(解答2)
 回答1で定義した単位ベクトルsとtで、回答1と同様にベクトルzを分解し、次に、ベクトルaの項とベクトルbの項に分ける。
式9の中のベクトルの要素を式5から8で置き換える。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(解答2おわり)

(補足2)
 この解答2の計算は、以下の計算をする場合には特に注意する必要がある。
(1)互いに直交する単位ベクトルsとtを以下の式で作る。
 (2)この単位ベクトルsとtでベクトルzを分解する。
この式10は以下の式11に変換できるが、この計算では、ベクトルの要素が所属するベクトルに関する情報が失われている式であるので、次の式11への変換を発想することが難しい。
式10を式11に変換できたら、以下の計算を進めることができる。
この式の中のベクトルsとtの式にベクトルの合成の公式を適用して1つのベクトルzの式に統合する。
これにより最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
(補足2おわり)

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2017年9月15日金曜日

ベクトルの分解の公式

【課題】以下のベクトルzと、
単位ベクトルaとbと、それらのベクトルを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbがあるとき:
ベクトルzをベクトルaとbであらわす公式を導き出す。

【解法その1】 
 ベクトルaとbを反時計回りに90度回転した単位ベクトルaと単位ベクトルbを加えて考えると、以下の図の関係がある。
上の図の関係から、ベクトルOZは、以下の式の関係で、ベクトルaとbであらわせる。
この式がベクトルの分解の公式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この公式は、単位ベクトルaとbとaとbそれぞれを、単独に定数倍した任意の長さのベクトルに置き換えても、それらの定数倍の係数が公式の分母と分子で打ち消し合うので、それらの任意の長さのベクトルに関しても成り立つ公式である。


(補足2)
 この公式が正しいか否かを調べるため、ベクトルzをこの公式で分解した式について、以下のように、ベクトルaとベクトルbの方向の成分を計算する。
その結果、それらの方向の成分は、それらの方向のベクトルzの成分に等しいので、この公式が正しいことがわかる。

【解法その2】 
 以下の、ベクトルの係数kとkが未知数であるベクトル方程式1を考える。
 この式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
 同様に式1に、係数kを消去するベクトルを掛け算する。
式3と式5で得られたベクトルの係数kとkを式1に代入する。
これにより、ベクトルの分解の公式がえられた。
(解答おわり)

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2017年9月13日水曜日

連立方程式をベクトルの内積により計算する

以下の連立方程式を考える。
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積の式5と6であらわすことができる。
この連立方程式を以下のようにしてベクトルを使って解く。

(解答はじめ)
 先ず、式3が成り立つので、以下の式7が成り立つ。
すなわち、ベクトルaとcの和のベクトルと、ベクトルaとcの差のベクトルの内積が0になり、それらのベクトルが互いに垂直である。

 ベクトルzを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
ベクトルaとcの和のベクトルに平行な単位ベクトルsと、
ベクトルcとaの差のベクトルに平行な単位ベクトルtを考える。
ベクトルzを、単位ベクトルsとtに平行な要素に分解してあらわす。
 ここで得られた式8は、ベクトルzの解である。

 この式8をベクトルaの要素とベクトルcの要素で整理すると、もっと複雑な、扱いにくい式になる。
ベクトルは、この式8のように、互いに垂直なベクトル毎にまとめる方が単純な式になる。
この式8が、この計算結果によるzの解をあらわす一番単純な式である。
(解答おわり)

(補足1)
 この式8が成り立つことは、以下のようにして確認できる。
問題の式5と式6は以下の式に変形できる。
式8が、この式を満足するので、式8が成り立っている。

(補足2)
 この問題のzの解は、以下の式9であらわすこともできる。
この式9は、以上とは異なる発想で解いた結果の式であり、式8と等しい式です。以下の計算によって、式8から式9が導かれます。
こうして、式8から式9が導けました。

 式8も式9も、どちらが優れている(単純な)解だと言うことが出来ない、対等な解です。
 式9は、ベクトルaに垂直なベクトルaと、ベクトルcに垂直なベクトルcを加えてあらわした、使うベクトルの数が多い式ですが、式8よりも計算がし易い式であるとも言えそうです。

この式9は、直ぐには導き出せないので、以下のように整理して公式として覚えておいてください。

【ベクトル方程式の公式1】
以下の連立ベクトル方程式の式a1とa2があるとき:
この連立ベクトル方程式の解は:
である。
なぜなら、式a1と式a2のベクトルzに式a3を代入すると、以下の通り、式a1とa2を満足するからである。
(公式おわり)

【ベクトル方程式の公式2】
以下のベクトルzとaとbがあるとき:
ベクトルaとbを反時計回りに90度回転したベクトルとベクトルbを利用して、以下の関係が成り立つ。
(公式おわり)
 
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