2017年11月13日月曜日

円の中の点に拡張した円周角の定理

 【円の中の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の中の点Aにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。

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2017年11月12日日曜日

円の外の点に拡張した円周角の定理

 【円の外の点に拡張した円周角の定理】
上図のように、円の外の点Aにかかわる円周角の定理が成り立ちます。
この式を自力で証明して
よく覚えてください。

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2017年10月30日月曜日

円の外の拡張円周角の定理

 【円の外の拡張円周角】
上図のように、円周角Aと同じ角の、
円の外の角
∠BDEと
∠CDF
が、拡張円周角です。
これらの拡張円周角を
すぐ想像できるように、
この「円の外の拡張円周角の定理」
をよく覚えてください。

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2017年10月29日日曜日

角の二等分線の長さ-相似図形による定理の証明

以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を適用する問題です。
 【問1】 (難問)
上図のように、三角形ABCの頂角Aの二等分線の長さmに間して式1が成り立つことを証明しなさい。

(注意)
 この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。

(解けるまで解答を見ない理由)
 この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
 その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。

 そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第1の目的にするのが良いと考えます。

 そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。

(解答の方針) 
 辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
 この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
(1)図の不足を埋めて図を完成させてから、
(2)相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月28日土曜日

想像力を使う角度連動公式

【角度連動公式】
上図で、
∠AMB=∠EOF
とすると、
∠OAM=∠FMB
になることが、
以下の図を想像することで分かる。
先ず、
∠AMB=∠EOF
である2つの角AMBと角EOBが
同じ位置に重なって
点M=点O
となっている場合を想像する。

次に、
点Mが点Oからわずかにずれた場合の上図を想像する。

上図を想像すると、
わずかな角度の
∠OAM

∠FMB
が連動して生まれることが想像できます。

これらの、連動して生まれる角度は、以下の様に生まれる。
∠AMBの値を∠EOFに等しい一定の角度に維持するために、
線分AMと線分MBが連動して同じ角度だけ回転する。

その線分AMとMBの連動した回転に由来して、
∠OAM=∠FMB
になる。
(角度連動公式)

(補足)
 このように、連動する角度を想像することで、
連動して生まれる角度が等しいことが素早く把握できます。

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2017年10月27日金曜日

二重相似の公式と折り返し図形の点の位置

【公式】
上式のように、X軸に原点Oと点Aがある。
OA=s
である。
X軸から離れた位置の点BからX軸へ下ろした垂線のX軸上への足をCとする。そして、
AC=1,
BC=a
とする。
線分ABの延長線DAを折り目線にして原点Oに頂点を持つ図形(三角形OAD)を折り返すことでO点の位置の頂点をF点に移す。
線分OFとDAの交点をEとする。
点EのX軸へ下ろした垂線の足をGとする。
そのとき、
となることを証明せよ。
(二重相似の公式)

(解説)
 この二重相似の公式によって、
原点Oの位置の頂点を折り返した点Fの位置座標が、
で計算できる。
 二重相似の公式によって、頂点Oを折り返した位置Fの座標を計算する式の分母がcの二乗になっている。
これにより、cを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月25日水曜日

平行線と線分の比の問題

【問1】
上図のように、AB=10,AD=6,∠ABC<90°である平行四辺形ABCDにおいて、∠DABの二等分線と辺BCのCの方へ延長した直線との交点をEとする。線分AEと対角線BD,辺CDとの交点をそれぞれF,Gとする。
GE=3のとき、線分FGの長さ x を求めなさい。

(注意)
 この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。

この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

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