（２４）因数分解の難問

【覚えよう】
　以下の式の因数分解の問題があります。この問題は、実は難問です。
　この問題が難問であることをあいまいにすると、因数分解はどこまで計算したら良いのか、やり方がわからなくなりますので、ここで、この問題の考え方をはっきりさせておきます。

この式の因数分解の計算の最初の段階では、この式がｘ，ｙ，ｚを入れ替えても同じ式になる対称な形の式であることを利用して解きます。
　ｘ，ｙ，ｚの対称な形の式は、以下の要素ｓ，ｔ，ｕを使ってあらわすことができます。

つまり、以下のように、ｓ，ｔ，ｕの関数ｆであらわせます。

　既に、この式の因数の１つがｓであることを予測していますので、この式を、ｓ，ｔ，ｕであらわすように変形すれば、因数分解もできるだろうと予測できます。 
そのため、以下の様にして、式をｓ，ｔ，ｕであらわす変形を行ないます。

ｓで因数分解ができました。

ただし、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する式の変形において、式の対称性を維持しつつ変形すると、以下のようになり、より優れた解答が得られます。

こうして、ｓで因数分解ができました。

　ここで、このｓの右に掛かる項は因数分解しなくて良いのでしょうか。
　この問いに対する答えは、
「その項も因数分解しなければいけません」
です。
　この因数分解が難しいのでその計算は求められない場合が多いと思います。しかし、因数分解の精神としては、この式も因数分解しないといけないという基本精神は歪めないで、しっかり心に刻んでおいてください。
　この因数分解は難しいですが、２０００年頃は高校で教えられていたようですので、この因数分解もできるようにしましょう。
　この項を因数分解するために多大な試験時間を浪費する危険を防ぐために、
以下に、この式の因数分解の答えを書きますので、答えを覚えて、その答えだけを書くようにして下さい。

この因数分解の覚え方は以下のようにします。
最初の式:
ｘ^３＋ｙ^３＋ｚ^３－３ｘｙｚ
のｙを（ωｙ）に置き換えて、ｚを（ω^２ｚ）に置き変えた式が、
ｘ^３＋（ωｙ）^３＋（ω^２ｚ）^３－３ｘ（ωｙ）（ω^２ｚ）
＝ｘ^３＋ｙ^３＋ｚ^３－３ｘｙｚ
となって、最初の式と同じ式になる。
一方、
ｙを（ωｙ）に置き換えて、ｚを（ω^２ｚ）に置き変えた式で計算すると、
置き換え前の計算で、因数分解の１つの項のｓ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）を導き出したのと同様に、
置き換え後の計算でも、因数分解の１つの項のｓ’＝（ｘ＋ωｙ＋ω^２ｚ）が導き出される。
　このパラメータの置き換えをしても、最初の式は変わらないので、置き換えたパラメータを基礎にして得た因数分解の項ｓ’＝（ｘ＋ωｙ＋ω^２ｚ）もまた、最初の式の因数分解の項である。
と考えて覚えてください。

　因数分解したカッコの中の式では、ｘにだけωが掛からないので、式がｘ，ｙ，ｚに関して対称な形で無いので気持ちが悪いという人は、以下のように式を変形してみましょう。

　この因数分解の結果を見ると、完全に因数分解された式は、ｓ，ｔ，ｕだけであらわすことはできませんでした。最初の式をｓ，ｔ，ｕの関数ｆであらわす計算手法は、最初の因数分解の項ｓを導き出すときだけに通用しました。

（補足１） この完全な因数分解を解く計算は、以下の様に考えて解くのが良いと考えます。
【解】
この問題は難しいので、先ず、ｚ＝０の場合を以下の様にして解く。

ωは複素数平面（高校３年で学ぶ概念です）上で以下の様にあらわされます。

こうして、ｚ＝０の場合は、完全に因数分解できました。

ｚが０で無い場合は、ｚはこの式のどこに入ってくるでしょうか。
以下の式はどうでしょうか。

この左辺の式のｘ，ｙ，ｚを以下の様に置き換えても式が変わりません。そして、この右辺の式も、置き換えによって変わりません。

そのため、この式が確からしいことがわかります。
左辺の式の因数の１つが、

 であることを以下で確認してみます。
それは、この因数が０になる以下の式を左辺に代入して左辺が０になることで確認できます。

左辺が０になったので、因数の１つが確認できた。
左辺の式の因数のもう１つが、

 であることも同様にして確認できます。

（直接因数分解する計算方法）
　なお、予測した因数分解の答えに合わせて、以下の様に式を展開することによって、式を直接に因数分解することができる。

（解答おわり）

（補足２）
　この因数分解を応用すると、
３次方程式の解を媒介する定数ｓとｔの存在が示される。

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